Einführung in die harmonische Analyse, 1

Es bezeichne Si die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1 und 2 L (Si) den zum Lebesgue-Maß konstruierten komplexen Hilbert-Raum über Si. 2 Jedem Punkt SES ist ein Translationsoperator y(s) von L (Sl) in sich zugeordnet, l 2 welcher! E L (Si) in z --- !(S-l z) überführt. Die Abbildung S ---y (s) ist eine Darstellung der Gruppe Si. Betrachtet man die jedem! E U (S 1) zugeordnete F ourier- Reihe L C zn, so erhält man eine Zerlegung von U(Sl) in die eindimensionalen n neZ Untervektorräume (Hn)nez, die aus allen komplexen Vielfachen der Funktionen z ---z" bestehen. Auf jedem der Räume (Hn)nez operieren die linearen Abbildungen (y(s")seSI irreduzibel. Das Entwickeln in Fourier-Reihen kann demnach als Zerlegen der Darstellung y in irreduzible Teildarstellungen aufgefaßt werden. Diese zunächst ungewohnte Sicht der Fourier-Reihen hat sich als sehr fruchtbar erwiesen. Nach heutiger Erkenntnis besteht das Hauptproblem der harmonischen Analyse in der Zerlegung linearer Gruppendarstellungen in "elementare" Teildarstellungen. Mit Hilfe dieser Abstraktion erhält die Theorie der Fourier-Reihen, der Fourier-Integrale und der Entwicklungen nach einer großen Klasse spezieller Funktionen einen gemeinsamen Rahmen. Zugleich wird deutlich, warum die Theorie der Fourier-Reihen aus dieser Sicht von relativ elementarem Charakter ist: Die Kommutativität der Gruppe Si impliziert die Eindimensionalität der Vektorräume (Hn)nez. Das vorliegende Buch soll in die harmonische Analyse unter Betonung des gruppentheoretischen Standpunktes einführen.